图

图

图基本介绍

为什么要有图

  1. 前面我们学了线性表和树
  2. 线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
  3. 树也只能有一个直接前驱也就是父节点
  4. 当我们需要表示多对多的关系时， 这里我们就用到了图

图的举例说明

图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。 结点也可以称为顶点。如图：

d4z25j.png

图的常用概念

d5SeQP.png

1)顶点(vertex)

2)边(edge)

3)路径

4)无向图(上图)

5)有向图

6)带权图

无向图： 顶点之间的连接没有方向，比如A-B,

即可以是 A-> B 也可以 B->A .

路径: 比如从 D -> C 的路径有

  1. D->B->C
  2. D->A->B->C

d5S4FH.png

图的表示方式

图的表示方式有两种：二维数组表示（邻接矩阵）；链表表示（邻接表）。

邻接矩阵

邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1….n个点。

d5pK6x.png

邻接表

1)邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在,会造成空间的一定损失.

2)邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成
d5pdjP.png

Ø说明:

1)标号为0的结点的相关联的结点为 1 2 3 4

2)标号为1的结点的相关联结点为0 4，

3)标号为2的结点相关联的结点为 0 4 5

4)….

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import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;

public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
    private int[][] edges;//存储图对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;//表示边的数目

    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;//节点的个数
        String[] vertexs = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环添加顶点
        for (String value : vertexs) {
            graph.insertVertex(value);
        }
        //添加边
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);

        graph.showGraph();
    }

    //构造器
    public Graph(int n) {
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
    }

    //图中常用的方法

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
        for (int[] link : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //返回节点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    //返回节点i（下标）对应的数据0->"A"  1->"B"
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    //插入节点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    /**
     * 添加边
     *
     * @param v1     表示点的下标，即第几个顶点
     * @param v2
     * @param weight 权值
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}

图的深度优先遍历介绍

图遍历介绍

所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略: (1)深度优先遍历 (2)广度优先遍历

深度优先遍历基本思想

图的深度优先搜索(Depth First Search) 。

1)深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点， 可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。

2)我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。

3)显然，深度优先搜索是一个递归的过程

深度优先遍历算法步骤

1)访问初始结点v，并标记结点v为已访问。

2)查找结点v的第一个邻接结点w。

3)若w存在，则继续执行4，如果w不存在，则回到第1步，将从v的下一个结点继续。

4)若w未被访问，对w进行深度优先遍历递归（即把w当做另一个v，然后进行步骤123）。

5)查找结点v的w邻接结点的下一个邻接结点，转到步骤3。

图的遍历-深度优先遍历****

  1. 要求：对下图进行深度优先搜索, 从A 开始遍历.

dI6F81.png

2)思路分析

A B C D E

A 0 1 1 0 0

B 1 0 1 1 1

C 1 1 0 0 0

D 0 1 0 0 0

E 0 1 0 0 0

//说明

//(1) 1 表示能够直接连接

//(2) 0 表示不能直接连接

图的广度优先遍历

广度优先遍历基本思想

图的广度优先搜索(Broad First Search) 。

类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点

广度优先遍历算法步骤

1)访问初始结点v并标记结点v为已访问。

2)结点v入队列

3)当队列非空时，继续执行，否则算法结束。

4)出队列，取得队头结点u。

5)查找结点u的第一个邻接结点w。

6)若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：

6.1 若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。

6.2 结点w入队列

6.3 查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。

图的深度优先VS广度优先

应用实例

dIgU9s.png

1)深度优先遍历顺序为 1->2->4->8->5->3->6->7

2)广度优先算法的遍历顺序为：1->2->3->4->5->6->7->8

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graph.insertEdge(0, 1, 1);
graph.insertEdge(0, 2, 1);
graph.insertEdge(1, 3, 1);
graph.insertEdge(1, 4, 1);
graph.insertEdge(3, 7, 1);
graph.insertEdge(4, 7, 1);
graph.insertEdge(2, 5, 1);
graph.insertEdge(2, 6, 1);
graph.insertEdge(5, 6, 1);
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;

public class Graph {

    private ArrayList<String> vertexList;//存储顶点集合
    private int[][] edges;//存储图对应的邻接矩阵
    private int numOfEdges;//表示边的数目
    //定义给数组boolean[],记录某个节点是否被访问
    private boolean[] isVisited;

    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;//节点的个数
        String[] vertexs = {"A", "B", "C", "D", "E"};
        //创建图对象
        Graph graph = new Graph(n);
        //循环添加顶点
        for (String value : vertexs) {
            graph.insertVertex(value);
        }
        //添加边
        graph.insertEdge(0, 1, 1);
        graph.insertEdge(0, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 2, 1);
        graph.insertEdge(1, 3, 1);
        graph.insertEdge(1, 4, 1);

        graph.showGraph();

        //测试dfs
        System.out.println("深度遍历~");
        graph.dfs();
        System.out.println();
        System.out.println("广度优先~");
        graph.bfs();
    }

    //构造器
    public Graph(int n) {
        //初始化矩阵和vertexList
        edges = new int[n][n];
        vertexList = new ArrayList<String>(n);
        numOfEdges = 0;
    }

    //得到第一个邻接节点的下标w
    /**
     *
     * @param index
     * @return 如果存在就返回对应的下标，否则返回-1
     */
    public int getFirstNeighbor(int index){
        for(int j=0;j<vertexList.size();j++){
            if(edges[index][j]>0){
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //根据前一个邻接节点的下标来获取下一个邻接节点
    public int getNextNeighbor(int v1,int v2){
        for(int j=v2+1;j<vertexList.size();j++){
            if(edges[v1][j]>0){
                return j;
            }
        }
        return -1;
    }

    //深度优先遍历算法
    private void dfs(boolean[] isVisited,int i){
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
        //将该节点设置为已访问
        isVisited[i]=true;
        //查找节点i的第一个邻接节点
        int w=getFirstNeighbor(i);
        while (w!=-1){
            if(!isVisited[w]){
                dfs(isVisited,w);
            }
            //如果w节点已经被访问过
            w=getNextNeighbor(i,w);
        }
    }

    //对dfs进行重载,遍历所有的节点，并进行dfs
    public void dfs(){
        isVisited=new boolean[vertexList.size()];
        //遍历所有的节点，进行dfs[回溯]
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if(!isVisited[i]){
                dfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

    //对一个节点进行广度优先便利的方法
    private void  bfs(boolean[] isVisited,int i){
        int u;//表示队列的头节点对应的下标
        int w;//邻接节点w
        //队列,记录节点访问的顺序
        LinkedList queue=new LinkedList();
        //访问节点，输出节点信息
        System.out.print(getValueByIndex(i)+"->");
        //标记为已访问
        isVisited[i]=true;
        //将节点加入队列
        queue.addLast(i);

        while(!queue.isEmpty()){
            //取出队列的头节点下标
            u=(Integer)queue.removeFirst();
            //得到第一个邻接节点的下标
            w=getFirstNeighbor(u);
            while(w!=-1){
                //是否访问过
                if(!isVisited[w]){
                    System.out.print(getValueByIndex(w)+"->");
                    //标记已经访问
                    isVisited[w]=true;
                    //入队列
                    queue.addLast(w);
                }
                //以u为前驱点，找w后面的下一个邻接节点
                w=getNextNeighbor(u,w);//体现出广度优先
            }
        }
    }

    //遍历所有的节点，都进行广度优先搜索
    public void bfs(){
        isVisited=new boolean[vertexList.size()];
        for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
            if(!isVisited[i]){
                bfs(isVisited,i);
            }
        }
    }

    //图中常用的方法

    //显示图对应的矩阵
    public void showGraph() {
        for (int[] link : edges) {
            System.out.println(Arrays.toString(link));
        }
    }

    //返回节点的个数
    public int getNumOfVertex() {
        return vertexList.size();
    }

    //得到边的数目
    public int getNumOfEdges() {
        return numOfEdges;
    }

    //返回节点i（下标）对应的数据0->"A"  1->"B"
    public String getValueByIndex(int i) {
        return vertexList.get(i);
    }

    //返回v1和v2的权值
    public int getWeight(int v1, int v2) {
        return edges[v1][v2];
    }

    //插入节点
    public void insertVertex(String vertex) {
        vertexList.add(vertex);
    }

    /**
     * 添加边
     *
     * @param v1     表示点的下标，即第几个顶点
     * @param v2
     * @param weight 权值
     */
    public void insertEdge(int v1, int v2, int weight) {
        edges[v1][v2] = weight;
        edges[v2][v1] = weight;
        numOfEdges++;
    }
}