十大算法
十大算法
小贾嗯嗯十大算法
二分查找算法(非递归)
二分查找算法(非递归)介绍
- 前面我们讲过了二分查找算法,是使用递归的方式,下面我们讲解二分查找算法的非递归方式
- 二分查找法只适用于从有序的数列中进行查找(比如数字和字母等),将数列排序后再进行查找
- 二分查找法的运行时间为对数时间O(㏒₂n) ,即查找到需要的目标位置最多只需要㏒₂n步,假设从[0,99]的队列(100个数,即n=100)中寻到目标数30,则需要查找步数为㏒₂100 , 即最多需要查找7次( 2^6 < 100 < 2^7)
二分查找算法(非递归)代码实现
数组 {1,3, 8, 10, 11, 67, 100}, 编程实现二分查找, 要求使用非递归的方式完成.
1 | public class BinarySearchNoRecur { |
分治算法
分治算法介绍
- 分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”,就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题,再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解,原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础,如排序算法(快速排序,归并排序),傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
- 分治算法可以求解的一些经典问题
分治算法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤:
- 分解:将原问题分解为若干个规模较小,相互独立,与原问题形式相同的子问题
- 解决:若子问题规模较小而容易被解决则直接解,否则递归地解各个子问题
- 合并:将各个子问题的解合并为原问题的解。
分治(Divide-and-Conquer(P))算法设计模式
1 | if |P|≤n0 |
其中|P|表示问题P的规模;n0为一阈值,表示当问题P的规模不超过n0时,问题已容易直接解出,不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法,用于直接解小规模的问题P。因此,当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法,用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。
分治算法最佳实践-汉诺塔
- 汉诺塔的传说
汉诺塔:汉诺塔(又称河内塔)问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子,在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定,在小圆盘上不能放大圆盘,在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。
假如每秒钟一次,共需多长时间呢?移完这些金片需要5845.54亿年以上,太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年。真的过了5845.54亿年,地球上的一切生命,连同梵塔、庙宇等,都早已经灰飞烟灭。
- 汉诺塔游戏的演示和思路分析:
- 如果是有一个盘, A->C
- 如果我们有 n >= 2 情况,我们总是可以看做是两个盘 1.最下边的盘 2. 上面的盘
- 先把 最上面的盘 A->B
- 把最下边的盘 A->C
- 把B塔的所有盘 从 B->C
1 | public class Hanoitower { |
动态规划算法
动态规划算法介绍
- 动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是:将大问题划分为小问题进行解决,从而一步步获取最优解的处理算法
- 动态规划算法与分治算法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
- 与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。( 即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上,进行进一步的求解 )
- 动态规划可以通过填表的方式来逐步推进,得到最优解.
应用场景-背包问题
背包问题:有一个背包,容量为4磅 , 现有如下物品
物品 | 重量 | 价格 |
---|---|---|
吉他(G) | 1 | 1500 |
音响(S) | 4 | 3000 |
电脑(L) | 3 | 2000 |
- 要求达到的目标为装入的背包的总价值最大,并且重量不超出
- 要求装入的物品不能重复
- 思路分析和图解
- 背包问题主要是指一个给定容量的背包、若干具有一定价值和重量的物品,如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包和完全背包(完全背包指的是:每种物品都有无限件可用)
- 这里的问题属于01背包,即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包
1 | 算法的主要思想,利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品,根据w[i]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品,设v[i]、w[i]分别为第i个物品的价值和重量,C为背包的容量。再令v[i][j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。则我们有下面的结果: |
KMP算法
暴力匹配算法
如果用暴力匹配的思路,并假设现在str1匹配到 i 位置,子串str2匹配到 j 位置,则有:
- 如果当前字符匹配成功(即str1[i] == str2[j]),则i++,j++,继续匹配下一个字符
- 如果失配(即str1[i]! = str2[j]),令i = i - (j - 1),j = 0。相当于每次匹配失败时,i 回溯,j 被置为0。
- 用暴力方法解决的话就会有大量的回溯,每次只移动一位,若是不匹配,移动到下一位接着判断,浪费了大量的时间。(不可行!)
- 暴力匹配算法实现.
1 | public class ViolenceMatch { |
KMP算法介绍
- KMP是一个解决模式串在文本串是否出现过,如果出现过,最早出现的位置的经典算法
- Knuth-Morris-Pratt 字符串查找算法,简称为 “KMP算法”,常用于在一个文本串S内查找一个模式串P 的出现位置,这个算法由Donald Knuth、Vaughan Pratt、James H. Morris三人于1977年联合发表,故取这3人的姓氏命名此算法.
- KMP方法算法就利用之前判断过信息,通过一个next数组,保存模式串中前后最长公共子序列的长度,每次回溯时,通过next数组找到,前面匹配过的位置,省去了大量的计算时间
- 参考资料:https://www.cnblogs.com/ZuoAndFutureGirl/p/9028287.html
KMP算法最佳应用-字符串匹配问题
- 字符串匹配问题::
- 有一个字符串 str1= “BBC ABCDAB ABCDABCDABDE”,和一个子串 str2=”ABCDABD”
- 现在要判断 str1 是否含有 str2, 如果存在,就返回第一次出现的位置, 如果没有,则返回-1
- 要求:使用KMP算法完成判断,不能使用简单的暴力匹配算法.
1 | import java.util.Arrays; |
贪心算法
贪心算法介绍
- 贪婪算法(贪心算法)是指在对问题进行求解时,在每一步选择中都采取最好或者最优(即最有利)的选择,从而希望能够导致结果是最好或者最优的算法
- 贪婪算法所得到的结果**不一定是最优的结果(有时候会是最优解)**,但是都是相对近似(接近)最优解的结果
贪心算法最佳应用-集合覆盖
- 假设存在如下表的需要付费的广播台,以及广播台信号可以覆盖的地区。 如何选择最少的广播台,让所有的地区都可以接收到信号
广播台 | 覆盖地区 |
---|---|
K1 | “北京”, “上海”, “天津” |
K2 | “广州”, “北京”, “深圳” |
K3 | “成都”, “上海”, “杭州” |
K4 | “上海”, “天津” |
K5 | “杭州”, “大连” |
思路分析:
如何找出覆盖所有地区的广播台的集合呢,使用穷举法实现,列出每个可能的广播台的集合,这被称为幂集。假设总的有n个广播台,则广播台的组合总共有2ⁿ -1 个,假设每秒可以计算10个子集, 如图:
广播台数量n 子集总数2ⁿ 需要的时间 5 32 3.2秒 10 1024 102.4秒 32 4294967296 13.6年 100 1.26*100³º 4x10²³年 使用贪婪算法,效率高:
目前并没有算法可以快速计算得到准备的值, 使用贪婪算法,则可以得到非常接近的解,并且效率高。选择策略上,因为需要覆盖全部地区的最小集合:
- 遍历所有的广播电台, 找到一个覆盖了最多**未覆盖的地**区的电台(此电台可能包含一些已覆盖的地区,但没有关系)
将这个电台加入到一个集合中(比如ArrayList), 想办法把该电台覆盖的地区在下次比较时去掉。
1 | - 重复第1步直到覆盖了全部的地区 |
贪心算法注意事项和细节
- 贪婪算法所得到的结果不一定是最优的结果(有时候会是最优解),但是都是相对近似(接近)最优解的结果
- 比如上题的算法选出的是K1, K2, K3, K5,符合覆盖了全部的地区
- 但是我们发现 K2, K3,K4,K5 也可以覆盖全部地区,如果K2 的使用成本低于K1,那么我们上题的 K1, K2, K3, K5 虽然是满足条件,但是并不是最优的.
普利姆算法
普里姆算法介绍
- 普利姆(Prim)算法求最小生成树,也就是在包含n个顶点的连通图中,找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图,也就是所谓的极小连通子图
- 普利姆的算法如下:
- 设G=(V,E)是连通网,T=(U,D)是最小生成树,V,U是顶点集合,E,D是边的集合
- 若从顶点u开始构造最小生成树,则从集合V中取出顶点u放入集合U中,标记顶点v的visited[u]=1
- 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边,则寻找这些边中权值最小的边,但不能构成回路,将顶点vj加入集合U中,将边(ui,vj)加入集合D中,标记visited[vj]=1
- 重复步骤②,直到U与V相等,即所有顶点都被标记为访问过,此时D中有n-1条边
最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题, 先介绍一下最小生成树**(Minimum Cost Spanning Tree),简称MST。**
- 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树
- N个顶点,一定有N-1条边
- 包含全部顶点
- N-1条边都在图中
- 举例说明(如图:)
- 求最小生成树的算法主要是普利姆算法和克鲁斯卡尔算法
普里姆算法最佳实践(修路问题)
- 有胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把7个村庄连通
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里
- 问:如何修路保证各个村庄都能连通,并且总的修建公路总里程最短?
1 | import java.util.Arrays; |
应用场景-公交站问题
看一个应用场景和问题:
- 某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把7个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 12公里
- 问:如何修路保证各个站点都能连通,并且总的修建公路总里程最短?
克鲁斯卡尔算法
克鲁斯卡尔算法介绍
- 克鲁斯卡尔(Kruskal)算法,是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
- 基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边,并保证这n-1条边不构成回路
- 具体做法:首先构造一个只含n个顶点的森林,然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中,并使森林中不产生回路,直至森林变成一棵树为止
克鲁斯卡尔最佳实践-公交站问题
看一个应用场景和问题:
- 某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ,现在需要修路把7个站点连通
- 各个站点的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 12公里
- 问:如何修路保证各个站点都能连通,并且总的修建公路总里程最短?
1 | import java.util.Arrays; |
迪杰斯特拉算法
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法介绍
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法,用于计算一个结点到其他结点的最短路径。 它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想),直到扩展到终点为止。
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法过程
设置出发顶点为v,顶点集合V{v1,v2,vi…},v到V中各顶点的距离构成距离集合Dis,Dis{d1,d2,di…},Dis集合记录着v到图中各顶点的距离(到自身可以看作0,v到vi距离对应为di)
- 从Dis中选择值最小的di并移出Dis集合,同时移出V集合中对应的顶点vi,此时的v到vi即为最短路径
- 更新Dis集合,更新规则为:比较v到V集合中顶点的距离值,与v通过vi到V集合中顶点的距离值,保留值较小的一个(同时也应该更新顶点的前驱节点为vi,表明是通过vi到达的)
- 重复执行两步骤,直到最短路径顶点为目标顶点即可结束
迪杰斯特拉(Dijkstra)算法最佳应用-最短路径
A(2)B(3)C(9)D(10)E(4)F(6)G(0)
A(7) B(12) C(0) D(17) E(8) F(13) G(9)
- 战争时期,胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G) ,现在有六个邮差,从G点出发,需要分别把邮件分别送到 A, B, C , D, E, F 六个村庄
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里
- 问:如何计算出G村庄到 其它各个村庄的最短距离?
- 如果从其它点出发到各个点的最短距离又是多少?
1 | import java.util.Arrays; |
弗洛伊德算法
弗洛伊德(Floyd)算法介绍
- 和Dijkstra算法一样,弗洛伊德(Floyd)算法也是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授*罗伯特*·弗洛伊德**命名
- 弗洛伊德算法(Floyd)计算图中各个顶点之间的最短路径
- 迪杰斯特拉算法用于计算图中某一个顶点到其他顶点的最短路径。
- 弗洛伊德算法 VS 迪杰斯特拉算法:迪杰斯特拉算法通过*选定的被访问顶*点,求出从出*发访问顶点到其他顶点的最短路径;弗洛伊德算法中*每一个顶点都是出发访问点,所以需要将每一个顶点看做被访问顶点,求出从每一个顶点到其他顶点的最短路径**。
弗洛伊德(Floyd)算法图解分析
- 设置顶点vi到顶点vk的最短路径已知为Lik,顶点vk到vj的最短路径已知为Lkj,顶点vi到vj的路径为Lij,则vi到vj的最短路径为:min((Lik+Lkj),Lij),vk的取值为图中所有顶点,则可获得vi到vj的最短路径
- 至于vi到vk的最短路径Lik或者vk到vj的最短路径Lkj,是以同样的方式获得
- 弗洛伊德(Floyd)算法图解分析-举例说明
弗洛伊德(Floyd)算法最佳应用-最短路径
- 胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)
- 各个村庄的距离用边线表示(权) ,比如 A – B 距离 5公里
- 问:如何计算出各村庄到 其它各村庄的最短距离?
1 | import java.util.Arrays; |
马踏棋盘算法
马踏棋盘算法介绍和游戏演示
- 马踏棋盘算法也被称为骑士周游问题
- 将马随机放在国际象棋的8×8棋盘Board[0~7][0~7]的某个方格中,马按走棋规则(马走日字)进行移动。要求每个方格只进入一次,走遍棋盘上全部64个方格
- 游戏演示: http://www.4399.com/flash/146267_2.htm
1 | 骑士周游问题的解决步骤和思路 |
马踏棋盘游戏代码实现
- 马踏棋盘问题(骑士周游问题)实际上是图的深度优先搜索(DFS)的应用。
- 如果使用回溯(就是深度优先搜索)来解决,假如马儿踏了53个点,如图:走到了第53个,坐标(1,0),发现已经走到尽头,没办法,那就只能回退了,查看其他的路径,就在棋盘上不停的回溯…… ,思路分析+代码实现
- 分析第一种方式的问题,并使用贪心算法(greedyalgorithm)进行优化。解决马踏棋盘问题.
- 使用前面的游戏来验证算法是否正确。
1 | import java.awt.Point; |